Cebirsel yüzeylerde düz rasyonel eg ̆rilerin konfigürasyonlarının incelenmesi, cebirsel geometri ve tekillik teorisinin bas ̧langıcına kadar uzanan 170 yıllık klasik bir problemdir (Cayley, 1849, 1869; Salmon, 1862; Schur, 1882; Rohn, 1887; Severi, 1921; Chisini, 1933, 1952; Zariski, 1929, 1931, 1937; van Kampen, 1933; Segre, 1943). Asla tamamen unutulmamakla beraber, son zamanlarda konu eski popülaritesini yeniden kazandı, ve özellikle son on yılda, önceki projelerimizde gelis ̧tirilen yenilikçi yaklas ̧ım sayesinde, (Akyol and Degtyarev, 2015; Degtyarev et al., 2017; Degtyarev, 2019a,c, 2021, 2022a,b,c,d,e; Degtyarev and Rams, 2021b, 2023; Günes ̧ Aktas ̧, 2017, 2019; Degtyarev et al., 2023) önemli bir ilerleme kaydedilmis ̧tir. Bu yeni yaklas ̧ım, bu çalıs ̧ma alanına daha fazla insanı çekti ve daha önce eris ̧ilemez olarak kabul edildig ̆i için çok nadir sonuçların bulundug ̆u soruları yeniden gündeme getirdi. Birkaç aktif aras ̧tırma hattı ile sonuçlanan bu soruların bazılarını cevaplamayı amaçlıyoruz:

• düzgün K3-yüzeylerindeki konikler (Barth and Bauer, 1994; Bauer, 1995; Bonnafé and Sarti, 2021; Degt- yarev, 2021, 2022a,b,c; Naskre ̨cki, 2021);

• tekil K3-yüzeylerindeki dog ̆rular (Rohn, 1887; Veniani, 2017, 2020; Degtyarev and Rams, 2021b, 2023);

• gerçel kuartik yüzeylerin tekillikleri (Moriceau, 2004; Degtyarev and Itenberg, 2011; Ottem et al., 2013;

  Krasnov, 2018, 2019, 2020a,b; Günes ̧ Aktas ̧, 2019);

• tekil gerçel sekstik eg ̆riler (Itenberg, 1992, 1994, 1995; Akyol and Degtyarev, 2015; Josi, 2018).

  Esas olarak K3-yüzeyleriyle ug ̆ras ̧tıg ̆ımız için, temel arka plan teorisi global Torelli teoremi (Pjatecki ̆ı-Šapiro and Šafarevicˇ, 1971) ve period es ̧lemesinin örtenlig ̆idir (Kulikov, 1977); bkz ince modül uzayı için Beauville (1985) ve projektif modeller için Saint-Donat (1974). Bu nedenle, is ̧imiz probleme bag ̆lı “dog ̆ru” (gerçel) homolo- jik tip kavramını gelis ̧tirmekten, orijinal geometrik problem ile aritmetik veriler arasındakki es ̧lemeyi kurmaktan, ve daha da önemlisi, denenecek, yeterli ancak makul bir kafes kaynag ̆ı sag ̆lamaktan ibarettir. Sonuncusu için, gelis ̧mis ̧ kafes teorisinin, hiperbolik geometrinin, grafik teorisinin ve cebir-geometrik içgörünün (eliptik dergeler) bir füzyonuna dayanan yeni yaklas ̧ımımızı (Degtyarev, 2019a, 2022d) daha da gelis ̧tireceg ̆iz. Kafes teorisinin bazı yönlerinin ve Kalinin’in spektral dizisinin gerçel cebirsel geometri için uygun bir formda ifade edildig ̆i Degt- yarev et al. (2000)’yi de gelis ̧tirmemiz gerekecek.

  Çalıs ̧mamızın alanda belirgin bir etkisi olacak: öne çıkan problemlerden birçog ̆unu kapatacag ̆ız ve sanısal ifadelerin bile bilinmedig ̆i yönlerde daha fazla ilerleme için gerekli deneysel kanıtları toplayacag ̆ız.

  Sıkı bir uluslararası is ̧birlig ̆i ve uluslararası konferanslara katılım, ortakların asıl kurumlarına ve önde gelen aras ̧tırma merkezlerine ziyaretler vasıtasıyla bilginin genis ̧ çapta yaygınlas ̧tırılmasını planlıyoruz. Ög ̆rencilerim- izin ve genç ekibimizin katılımı kendi olus ̧umlarını tamamlayacak ve uluslararası matematik toplulug ̆una uyum sag ̆lamalarına yardımcı olacaktır.